New PDF release: Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique

Linear

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540344926

ISBN-13: 9783540344926

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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31, prop. 2) et o'(L7, if) = H(6) (X, p. 38, lemme 3, b)), donc d'autre part, H(ü) 0 H(P) = H(q) 0 H(E) = H(q) 0 H(n) 0 H(P) d'après X, p. 39, remarque. Comme H(P) est bijectif, cela donne H(v) = H(q) b H(n). On a donc a(u, ti) = H(6) 0 H(q)-', ce qui fournit une nouvelle déjinition de l'homomorphisme de liaison d(u, u). On notera d'autre part que si on identifie H(Con (u))à H(C1') par H(cp), le corollaire précédent signifie que la suite exacte (8) s'identge alors à la suite exacte d'homologie relative à (9).

Lemme 2. - Si dans le diagramnze commutatif de A-modules et d'lzomomorphismes on a a o a' = O, Ker p = Im p' et si M ' est projectif, il existe un A-homomorphisme ut : M' -+ N' tel que P' o u' = u o r'. Il suffit de poser k" = ut', k = - u, f = O, f ' = O et u' = k' dans le lemme 1. Lemme 1 bis. - Considérons un diagramme de A-modules et d'homomorphismes t e l q u e f o a ' = j30ft,Kercl = Imcl', p o p f = 0 , e t f 1 = k o a t + p ' o k 1 e t o Ù N " est injectif. Il existe un A-homomorphisme k : M" -+ N " tel que f = k" o a + P o k.

6. Un endomorphisme s de C satisfaisant à la condition (ii) de la prop. 6 est appelé une scission de C. Exemples. - 1) Un complexe à différentielle nulle est scindé. e. les complexes C tels que H(C) = O et que Z(C) soit facteur direct dans C. 3) Soient f : M + N un homomorphisme de A-modules et C le complexe tel que Cl = M, Co = N, Ci = O pour i # O, 1, dl = f, di = O pour i # 1. Alors C est scindé si et seulement si Ker f est facteur direct dans M et Im f facteur direct dans N. 4) Le complexe C est scindé dès que B(C) et H(C) sont projectifs (resp.

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Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki


by Paul
4.0

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