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Linear

By Shilov G.

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The assumption of optimization runs via so much components of keep watch over idea. the best optimum controls are preplanned (programmed) ones. the matter of making optimum preplanned controls has been widely labored out in literature (see, e. g. , the Pontrjagin greatest precept giving valuable stipulations of preplanned keep watch over optimality).

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Soient f E (A[[J]])',g E A,,,, h E A,,,. Alors g o h E A,,, et, d'après (4), on a 4. Séries formelles inversibles PROPOSITION 5. - Dans l'anneau A [ [ T ] ]des séries formelles en une indéterminée, 30 le polynôme 1 - T est inversible, et l'on a ( 1 - T ) - ' = C Tn. En effet, PROPOSITION 6. Pour que u soit inversible dans A[[I]],il faut et il suf$t que son terme constant soit inversible dans A. Supposons qu'il existe a E A [ [ I ] ]tel que UV = 1. Soient a, P les termes constants = 1 , donc a est inversible.

I) Pour v E N('), soit eV= yv,(ei). Alors est une base du A-module fl id TS(M). En particulier, l'algèbre TS(M) est engendrée par la famille des éléments y,(x) pour k E 1V et x E M. (ii) Pour tout p E N, TSP(M) estfacteur direct dans le A-module T*(M). Utilisons les notations de la remarque 2 ci-dessus. La famille (edl, O . . Q e,(,)),, est une base de TP(M). Alors la prop. 4 résulte de la formule (7) et du lemme suivant, appliqué avec H = 6,et U = TP(M) : Lemme 1. - Soient H un groupe$ni, U un A[H]-mo~uleà gauche.

I) Soit h E H. Pour h' E H et m E M, posons cp(hf) = hh'h-' et $(m) = hm. On a

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by Steven
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