Download e-book for iPad: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

Calculus

By Otto Forster

ISBN-10: 3658115440

ISBN-13: 9783658115449

Dieses seit vier Jahrzehnten bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am computing device nachvollzogen werden können. Die vorliegende 12. Auflage wurde in mehreren info verbessert und enthält einige zusätzliche Aufgaben und Beispiele.

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Lesungen gemaB solI auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in hoherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen moglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennenzulernen. Dementsprechend sind aIle Beweise bis in die Einzel heiten hinein ausgeflihrt, und in den ersten Paragraphen werden wich tige Beweismethoden eigens erlautert.

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Wir fahren jetzt mit der Behandlung der Beispiele fort. 6) Die Folge ( fn ) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . ) der Fibonacci-Zahlen divergiert. Denn man zeigt leicht durch vollst¨andige Induktion, dass fn+1 n f¨ur alle n 0. Die Folge ist also nicht beschr¨ankt und kann deshalb nach Satz 1 nicht konvergieren. 6. 7) Das Konvergenzverhalten der Folge (xn )n∈N h¨angt vom Wert von x ab. Wir unterscheiden vier F¨alle. 1. Fall. F¨ur |x| < 1 gilt lim xn = 0. n→∞ Beweis. Nach §3, Satz 3 b), existiert zu vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N mit |x|N < ε.

11) 0 y−1 § 3 Die Anordnungs-Axiome 28 Beweis. 10) auch (xy)−1 = x−1 y−1 > 0. d. Bemerkung. 3) gelten, heißt angeordneter K¨orper. R und Q sind angeordnete K¨orper. 2) steht. 9) widerspricht. Die naturlichen ¨ Zahlen als Teilmenge von R In jedem K¨orper gibt es die 0 und die 1. Um die weiteren nat¨urlichen Zahlen zu erhalten, kann man versuchen, einfach sukzessive die 1 zu addieren, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, 4 := 3 + 1, usw. Dass dies nicht ohne weiteres das Erwartete liefert, sieht man am K¨orper F2 , in dem damit 2 = 0 ist, was unseren Vorstellungen von den nat¨urlichen Zahlen widerspricht.

N=0 Beweis. F¨ur die Partialsummen gilt nach §1, Satz 6 sn = n ∑ xk = k=0 1 − xn+1 . d. 10) Beispiele. F¨ur x = ± 12 erh¨alt man die beiden Formeln 1 1 1 1 1 = 2, 1+ + + + +... = 2 4 8 16 1 − 1/2 1 1 1 1 1 2 1− + − + ∓... = = . 2 4 8 16 1 + 1/2 3 Satz 7 (Linearkombination konvergenter Reihen). Seien ∞ ∑ an n=0 ∞ und ∑ bn n=0 § 4 Folgen, Grenzwerte 45 zwei konvergente Reihen reeller Zahlen und λ, z ∈ R. Dann konvergiert auch die Reihe ∑∞ n=0 (λan + zbn ) und es gilt ∞ ∞ ∞ n=0 n=0 n=0 ∑ (λan + zbn) = λ ∑ an + z ∑ bn .

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by Donald
4.5

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